Đáp án: 5

Hướng dẫn giải:

- Từ phương trình elip \((E) : \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\), ta xác định được các bán trục lớn \(a = \sqrt{25} = 5\) và bán trục bé \(b = \sqrt{16} = 4\).

- Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến một điểm \(M(x; y)\) trên elip được tính bởi công thức: \(OM = \sqrt{x^2 + y^2}\).

- Vì \(a > b\) (elip có trục lớn nằm trên trục \(Ox\)), giá trị lớn nhất của \(OM\) chính bằng bán trục lớn \(a\).

- Cụ thể: từ phương trình elip ta có \(\frac{x^2}{25} \leq 1 \Rightarrow x^2 \leq 25\) và \(\frac{y^2}{16} \leq 1 \Rightarrow y^2 \leq 16\). Khi đó \(OM^2 = x^2 + y^2\).

- Theo tính chất elip, \(OM_{max} = a = 5\) (đạt được khi \(M\) là các đỉnh trên trục lớn \(( \pm 5; 0)\)).

- Vậy giá trị lớn nhất của \(OM\) là 5.

Đáp án: 3

Hướng dẫn giải:

- Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), trục \(Ox\) có phương trình là \(y = 0\).

- Khoảng cách từ một điểm \(M(x_0; y_0)\) đến trục \(Ox\) được tính bằng công thức: \[ d(M, Ox) = |y_0| \]

- Với điểm \(M(2; -3)\), ta có \(y_0 = -3\).

- Vậy khoảng cách cần tìm là: \( d(M, Ox) = |-3| = 3 \).

Đáp án: 29

Hướng dẫn giải:

- Tổng số cách chọn ngẫu nhiên một đôi tất và một đôi giày (không tính điều kiện): \[ 7 \times 5 = 35 \text{ (cách)} \]

- Số cách chọn rơi vào trường hợp "không thích" (tất trắng đi cùng giày đen): Người đó có 3 đôi tất trắng và 2 đôi giày đen, nên số cách chọn cặp tất trắng - giày đen là: \[ 3 \times 2 = 6 \text{ (cách)} \]

- Số cách chọn thỏa mãn yêu cầu: Lấy tổng số cách trừ đi số cách không thích: \[ 35 - 6 = 29 \text{ (cách)} \]

- Vậy người đó có 29 cách chọn tất và giày.

Đáp án: -40

Hướng dẫn giải:

- Công thức số hạng tổng quát của khai triển \((a + b)^n\) là: \(T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k\).

- Ở đây: \(a = 2x\), \(b = -y\), \(n = 5\).

- Số hạng thứ 4 ứng với \(k = 3\): \[ T_4 = C_5^3 \cdot (2x)^{5-3} \cdot (-y)^3 \]

- Tính toán cụ thể: \[ T_4 = 10 \cdot (2x)^2 \cdot (-y^3) = 10 \cdot 4x^2 \cdot (-y^3) = -40x^2y^3 \]

- Vậy hệ số của số hạng thứ 4 là **-40**.

Đáp án: \(164\pi\)

Hướng dẫn giải:

- Gọi tâm đường tròn là \(I(a; b)\). Vì \(I \in d\) nên \(2a - b + 7 = 0 \Rightarrow b = 2a + 7\). Vậy \(I(a; 2a + 7)\).

- Vì đường tròn đi qua \(A, B\) nên \(IA^2 = IB^2 = R^2\): \[ (a - 1)^2 + (2a + 7 - 3)^2 = (a - 3)^2 + (2a + 7 - 1)^2 \] \[ \Leftrightarrow (a - 1)^2 + (2a + 4)^2 = (a - 3)^2 + (2a + 6)^2 \]

- Khai triển và rút gọn: \[ a^2 - 2a + 1 + 4a^2 + 16a + 16 = a^2 - 6a + 9 + 4a^2 + 24a + 36 \] \[ \Leftrightarrow 14a + 17 = 18a + 45 \Leftrightarrow 4a = -28 \Leftrightarrow a = -7 \]

- Với \(a = -7 \Rightarrow b = 2(-7) + 7 = -7\). Tâm \(I(-7; -7)\).

- Bán kính bình phương: \(R^2 = IA^2 = (-7 - 1)^2 + (-7 - 3)^2 = 64 + 100 = 164\). (Lưu ý: Bạn nên kiểm tra lại đề bài vì số liệu có thể dẫn đến kết quả khác tùy theo tọa độ chính xác).

- Diện tích hình tròn: \(S = \pi R^2\). Với \(R^2 = 164\) (tính toán lại theo các bước chuẩn), ta có \(S = 164\pi\).

Đáp án: 48

Hướng dẫn giải:

- Coi hai bạn Hùng và Vương là một "nhóm X". Khi đó, bài toán trở thành xếp 4 đối tượng (nhóm X và 3 bạn còn lại) vào 4 vị trí hàng ngang.

- Số cách xếp 4 đối tượng này là: \(4! = 24\) cách.

- Trong nội bộ nhóm X, hai bạn Hùng và Vương có thể hoán đổi vị trí cho nhau, nên có: \(2! = 2\) cách.

- Theo quy tắc nhân, tổng số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là: \(24 \times 2 = 48\) cách.

Đáp án: \(\frac{21}{40}\)

Hướng dẫn giải:

- Số phần tử của không gian mẫu (lấy 2 quả từ 16 quả): \[ n(\Omega) = C_{16}^2 = \frac{16 \cdot 15}{2} = 120 \]

- Để lấy được hai quả có màu khác nhau, ta phải lấy 1 quả màu đỏ và 1 quả màu xanh:

+ Chọn 1 quả đỏ từ 7 quả: Có \(C_7^1 = 7\) cách.

+ Chọn 1 quả xanh từ 9 quả: Có \(C_9^1 = 9\) cách.

- Số kết quả thuận lợi cho biến cố: \(n(A) = 7 \cdot 9 = 63\).

- Xác suất của biến cố: \[ P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{63}{120} = \frac{21}{40} \]

Ghi chú: \(\frac{21}{40} = 0,525\).