Đáp án: 7

Hướng dẫn giải:

- Tiêu cự \(2c = 10 \Rightarrow c = 5\). Ta có mối liên hệ: \(c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow 25 = a^2 + b^2 \Rightarrow b^2 = 25 - a^2\).

- Vì \((H)\) đi qua điểm \(M\left(-5; \frac{16}{3}\right)\) nên: \[ \frac{(-5)^2}{a^2} - \frac{\left(\frac{16}{3}\right)^2}{b^2} = 1 \Leftrightarrow \frac{25}{a^2} - \frac{256}{9b^2} = 1 \]

- Thay \(b^2 = 25 - a^2\) vào phương trình trên: \[ \frac{25}{a^2} - \frac{256}{9(25 - a^2)} = 1 \]

- Giải phương trình ta được \(a^2 = 9 \Rightarrow a = 3\) (do \(a > 0\)).

- Suy ra \(b^2 = 25 - 9 = 16 \Rightarrow b = 4\).

- Vậy \(a + b = 3 + 4 = 7\).

Đáp án: 0

Hướng dẫn giải:

- Xác định vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng:

+ Đường thẳng \(\Delta_1\) có \(\vec{n_1} = (6; -8)\).

+ Đường thẳng \(\Delta_2\) có \(\vec{n_2} = (3; -4)\).

- Ta thấy \(\vec{n_1} = 2\vec{n_2}\), suy ra hai vectơ pháp tuyến cùng phương.

- Do đó, hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) song song hoặc trùng nhau (ở đây là song song vì tỉ số hệ số tự do \(\frac{3}{-6} \neq \frac{6}{3}\)).

- Vậy góc giữa hai đường thẳng bằng \(0^\circ\).

Đáp án: 450

Hướng dẫn giải:

- Gọi số tự nhiên chẵn có ba chữ số có dạng: \(\overline{abc}\) (với \(a, b, c \in \mathbb{N}, 1 \leq a \leq 9, 0 \leq b \leq 9\)).

- Vì là số chẵn nên chữ số hàng đơn vị \(c \in \{0; 2; 4; 6; 8\}\): Có 5 cách chọn.

- Chữ số hàng trăm \(a \in \{1; 2; ...; 9\}\): Có 9 cách chọn.

- Chữ số hàng chục \(b \in \{0; 1; ...; 9\}\): Có 10 cách chọn.

- Theo quy tắc nhân, số các số thỏa mãn là: \(9 \times 10 \times 5 = 450\) số.

Cách khác: Các số chẵn có 3 chữ số lập thành một cấp số cộng: 100, 102, ..., 998. Số các số hạng là: \((998 - 100) : 2 + 1 = 450\).

Đáp án: 0

Hướng dẫn giải:

- Để tính tổng các hệ số trong một khai triển đa thức, ta chỉ cần thay giá trị của biến bằng 1.

- Thay \(x = 1\) vào hai vế của đẳng thức:

\[ (1 - 1)^5 = a_5(1)^5 + a_4(1)^4 + a_3(1)^3 + a_2(1)^2 + a_1(1) + a_0 \]

\[ \Leftrightarrow 0^5 = a_5 + a_4 + a_3 + a_2 + a_1 + a_0 \]

- Vậy tổng \(a_5 + a_4 + a_3 + a_2 + a_1 + a_0 = 0\).

Đáp án: 3x - 4y + 9 = 0 hoặc 3x - 4y - 11 = 0

Hướng dẫn giải:

- Vì \(\Delta // d\) nên phương trình \(\Delta\) có dạng: \(3x - 4y + C = 0\) (với \(C \neq 1\)).

- Khoảng cách từ điểm \(A(3;2)\) đến đường thẳng \(\Delta\) bằng 2:

\[ d(A, \Delta) = \frac{|3 \cdot 3 - 4 \cdot 2 + C|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 2 \]

\[ \Leftrightarrow \frac{|9 - 8 + C|}{5} = 2 \Leftrightarrow |1 + C| = 10 \]

- Trường hợp 1: \(1 + C = 10 \Rightarrow C = 9\) (thỏa mãn).

- Trường hợp 2: \(1 + C = -10 \Rightarrow C = -11\) (thỏa mãn).

- Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: \(3x - 4y + 9 = 0\) và \(3x - 4y - 11 = 0\).

Đáp án: 5040

Hướng dẫn giải:

Để lấy được 4 viên bi có đủ 3 màu, ta chia thành 3 trường hợp sau:

- TH1: 2 bi đỏ, 1 bi xanh, 1 bi trắng: \[ C_6^2 \times C_8^1 \times C_{10}^1 = 15 \times 8 \times 10 = 1200 \text{ (cách)} \]

- TH2: 1 bi đỏ, 2 bi xanh, 1 bi trắng: \[ C_6^1 \times C_8^2 \times C_{10}^1 = 6 \times 28 \times 10 = 1680 \text{ (cách)} \]

- TH3: 1 bi đỏ, 1 bi xanh, 2 bi trắng: \[ C_6^1 \times C_8^1 \times C_{10}^2 = 6 \times 8 \times 45 = 2160 \text{ (cách)} \]

- Tổng số cách chọn là: \( 1200 + 1680 + 2160 = 5040 \) (cách).

Đáp án: \(\frac{4651}{7776}\) (xấp xỉ 0,598)

Hướng dẫn giải:

- Số phần tử của không gian mẫu khi gieo xúc xắc 5 lần là: \(n(\Omega) = 6^5 = 7776\).

- Gọi biến cố \(A\): "Mặt 6 chấm xuất hiện ít nhất một lần".

- Biến cố đối \(\overline{A}\): "Mặt 6 chấm không xuất hiện lần nào trong cả 5 lần gieo".

- Trong mỗi lần gieo, để không xuất hiện mặt 6 chấm thì có 5 khả năng (xuất hiện các mặt {1, 2, 3, 4, 5}).

- Số phần tử của biến cố đối là: \(n(\overline{A}) = 5^5 = 3125\).

- Xác suất của biến cố đối: \(P(\overline{A}) = \frac{3125}{7776}\).

- Xác suất của biến cố \(A\) là: \(P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{3125}{7776} = \frac{4651}{7776}\).