Đáp án: 10

Hướng dẫn giải:

- Từ phương trình chính tắc của hypebol \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\), ta xác định được: \(a^2 = 16\) và \(b^2 = 9\).

- Ta có mối liên hệ: \(c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25\).

- Suy ra \(c = \sqrt{25} = 5\).

- Tiêu cự của hypebol được tính bằng công thức: \(2c = 2 \times 5 = 10\).

Vậy tiêu cự của hypebol \((H)\) bằng 10.

Đáp án: 2

Hướng dẫn giải:

- Ta thấy hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) song song với nhau vì có cùng vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (4; 3)\).

- Chọn một điểm \(M\) bất kỳ thuộc đường thẳng \(\Delta_2\). Cho \(y = 0 \Rightarrow 4x - 4 = 0 \Rightarrow x = 1\). Vậy \(M(1; 0) \in \Delta_2\).

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song chính là khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta_1\):

\[ d(\Delta_1, \Delta_2) = d(M, \Delta_1) = \frac{|4(1) + 3(0) + 6|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|10|}{5} = 2 \]

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng là 2.

Đáp án: 283

Hướng dẫn giải:

Gọi số cần tìm là \(n = \overline{abcd}\). Vì \(n \leq 2025\) và có 4 chữ số khác nhau nên \(a = 1\) hoặc \(a = 2\).

Trường hợp 1: \(a = 1\)

- \(d\) chẵn: \(d \in \{0, 2, 4, 6, 8\}\) (5 cách chọn).

- Chọn và xếp \(b, c\) từ 8 chữ số còn lại: \(A_8^2 = 56\) cách.

=> Có \(5 \times 56 = 280\) số.

Trường hợp 2: \(a = 2\)

- Vì \(n \leq 2025\) và các chữ số khác nhau nên \(b = 0\).

- Số có dạng \(\overline{20cd}\). Vì \(c < 2\) và \(c \neq 0\) nên \(c = 1\).

- Số có dạng \(\overline{201d}\). Để \(n\) chẵn và khác các chữ số đã chọn thì \(d \in \{4, 6, 8\}\) (3 cách chọn).

- Xét các số dạng \(\overline{202d}\) (loại vì trùng số 2).

=> Có 3 số thỏa mãn là: 2014, 2016, 2018. Tuy nhiên, đề bài giới hạn không lớn hơn 2025, ta kiểm tra thêm các số lẻ ở hàng chục: Không có vì chữ số phải khác nhau.

Tổng cộng: \(280 + 3 = 283\) số.

Đáp án: 24

Hướng dẫn giải:

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(T_{k+1} = C_4^k \left(\frac{x}{2}\right)^{4-k} \left(\frac{4}{x}\right)^k\)

\[ T_{k+1} = C_4^k \cdot \frac{x^{4-k}}{2^{4-k}} \cdot \frac{4^k}{x^k} = C_4^k \cdot \frac{4^k}{2^{4-k}} \cdot x^{4-2k} \]

Số hạng không chứa \(x\) ứng với số mũ của \(x\) bằng 0: \(4 - 2k = 0 \Leftrightarrow k = 2\).

Thay \(k = 2\) vào biểu thức hệ số, ta được: \(C_4^2 \cdot \frac{4^2}{2^{4-2}} = 6 \cdot \frac{16}{4} = 6 \cdot 4 = 24\).

Vậy hệ số của số hạng không chứa \(x\) là 24.

Đáp án: \(\sqrt{164}\)

Hướng dẫn giải:

- Gọi tâm đường tròn là \(I(a; b)\). Vì \(I \in d\) nên \(2a - b + 7 = 0 \Rightarrow b = 2a + 7\). Vậy \(I(a; 2a + 7)\).

- Vì đường tròn đi qua \(A\) và \(B\) nên \(IA^2 = IB^2 = R^2\):

\[ (a - 1)^2 + (2a + 7 - 3)^2 = (a - 3)^2 + (2a + 7 - 1)^2 \]

\[ \Leftrightarrow (a - 1)^2 + (2a + 4)^2 = (a - 3)^2 + (2a + 6)^2 \]

\[ \Leftrightarrow a^2 - 2a + 1 + 4a^2 + 16a + 16 = a^2 - 6a + 9 + 4a^2 + 24a + 36 \]

\[ \Leftrightarrow 14a + 17 = 18a + 45 \Leftrightarrow 4a = -28 \Leftrightarrow a = -7 \]

- Với \(a = -7 \Rightarrow b = 2(-7) + 7 = -7\). Tâm \(I(-7; -7)\).

- Bán kính \(R = IA = \sqrt{(-7 - 1)^2 + (-7 - 3)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-10)^2} = \sqrt{64 + 100} = \sqrt{164}\).

Đáp án: 1.036.800

Hướng dẫn giải:

- Để hai học sinh ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau luôn khác trường, các học sinh phải được xếp ngồi xen kẽ nhau theo dạng bàn cờ.

- **Bước 1: Chọn vị trí cho các trường.** Có 2 cách sắp xếp sơ đồ trường (Dãy 1 bắt đầu bằng trường \(A\) hoặc bắt đầu bằng trường \(B\)). Khi vị trí đầu tiên được chọn, tất cả các vị trí còn lại sẽ bị cố định theo quy tắc xen kẽ.

- **Bước 2: Xếp học sinh vào vị trí.**

+ Có \(6!\) cách xếp 6 học sinh trường \(A\) vào 6 chỗ dành cho trường \(A\).

+ Có \(6!\) cách xếp 6 học sinh trường \(B\) vào 6 chỗ dành cho trường \(B\).

- **Tổng số cách xếp là:** \(2 \times 6! \times 6! = 2 \times 720 \times 720 = 1.036.800\) cách.

Đáp án: \(\frac{700}{27417}\)

Hướng dẫn giải:

- Số phần tử của không gian mẫu (chọn 5 người từ 40 người): \(n(\Omega) = C_{40}^5 = 658008\).

- Gọi biến cố \(A\): "Trong 5 người được chọn có đúng một cặp vợ chồng". Việc chọn gồm các công đoạn sau:

1. Chọn 1 cặp vợ chồng trong số 2 cặp: có \(C_2^1 = 2\) cách.

2. Chọn 3 người còn lại từ 38 người (40 người trừ đi cặp vợ chồng đã chọn) sao cho không chọn trúng cặp vợ chồng còn lại:

+ Tổng số cách chọn 3 người từ 38 người: \(C_{38}^3 = 8436\) cách.

+ Số cách chọn 3 người mà có chứa cặp vợ chồng còn lại (1 cặp và chọn thêm 1 người từ 36 người): \(C_1^1 \times C_{36}^1 = 36\) cách.

+ Vậy số cách chọn 3 người mà không có cặp vợ chồng còn lại là: \(8436 - 36 = 8400\) cách.

- Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\): \(n(A) = 2 \times 8400 = 16800\).

- Xác suất: \(P(A) = \frac{16800}{658008} = \frac{700}{27417} \approx 0,0255\).