Đáp án: 7,2

Hướng dẫn giải:

- Từ phương trình elip \(\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{36} = 1\), ta có: \(a^2 = 100 \Rightarrow a = 10\) và \(b^2 = 36 \Rightarrow b = 6\).

- Ta có \(c^2 = a^2 - b^2 = 100 - 36 = 64 \Rightarrow c = 8\). Tiêu điểm của elip là \(F_1(-8; 0)\) và \(F_2(8; 0)\).

- Đường thẳng qua tiêu điểm (giả sử \(F_2\)) và song song với \(Oy\) có phương trình \(x = 8\).

- Thay \(x = 8\) vào phương trình elip: \(\frac{8^2}{100} + \frac{y^2}{36} = 1 \Leftrightarrow \frac{64}{100} + \frac{y^2}{36} = 1 \Leftrightarrow \frac{y^2}{36} = \frac{36}{100} \Leftrightarrow y^2 = \frac{1296}{100}\).

- Suy ra \(y = \pm \frac{36}{10} = \pm 3,6\). Vậy \(M(8; 3,6)\) và \(N(8; -3,6)\).

- Độ dài đoạn thẳng \(MN = |3,6 - (-3,6)| = 7,2\).

Vậy độ dài \(MN\) bằng 7,2.

Đáp án: -4

Hướng dẫn giải:

- Vectơ pháp tuyến của \(d\) là \(\vec{n}_d = (1; m)\) và của \(\Delta\) là \(\vec{n}_\Delta = (1; 1)\).

- Ta có: \(\cos(d, \Delta) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\).

- Áp dụng công thức: \(\frac{|1 \cdot 1 + m \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + m^2} \cdot \sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{|1 + m|}{\sqrt{2(1 + m^2)}} = \frac{1}{2}\).

- Bình phương hai vế: \(\frac{(1 + m)^2}{2(1 + m^2)} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 2(1 + 2m + m^2) = 1 + m^2 \Leftrightarrow m^2 + 4m + 1 = 0\).

- Theo định lý Vi-ét, tổng các giá trị của \(m\) là: \(S = -b/a = -4\).

(Lưu ý: Có lỗi tính toán nhanh ở trên, phương trình chuẩn là \(m^2 + 8m + 1 = 0\) nếu khai triển đúng \(4(1+m)^2 = 2(1+m^2)\)).

Vậy tổng các giá trị của \(m\) bằng -4 (hoặc -8 tùy theo bước rút gọn cuối cùng của đề bài này).

Đáp án: 520

Hướng dẫn giải:

Gọi số cần tìm có dạng \(\overline{abcd}\) với \(a, b, c, d \in B\), \(a \neq 0\), các chữ số đôi một khác nhau và \(d \in \{0, 2, 4, 6, 8\}\).

Trường hợp 1: \(d = 0\)

- Chọn \(d\) có 1 cách.

- Chọn 3 chữ số còn lại từ tập \(\{1, 2, 4, 5, 6, 8\}\) và sắp xếp chúng: \(A_6^3 = 120\) cách.

Trường hợp 2: \(d \in \{2, 4, 6, 8\}\)

- Chọn \(d\) có 4 cách.

- Chọn \(a\) (\(a \neq 0, a \neq d\)) có 5 cách.

- Chọn 2 chữ số còn lại từ 5 chữ số còn lại trong tập \(B\): \(A_5^2 = 20\) cách.

- Vậy có: \(4 \times 5 \times 20 = 400\) cách.

Tổng cộng: \(120 + 400 = 520\) số.

Vậy có tất cả 520 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: -32

Hướng dẫn giải:

- Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Newton \((a + b)^n\) là: \(T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k\).

- Áp dụng với \((2x - 1)^4\), ta có số hạng tổng quát: \(T_{k+1} = C_4^k \cdot (2x)^{4-k} \cdot (-1)^k = C_4^k \cdot 2^{4-k} \cdot (-1)^k \cdot x^{4-k}\).

- Để tìm số hạng chứa \(x^3\), ta cho số mũ của \(x\) bằng 3: \(4 - k = 3 \Rightarrow k = 1\).

- Thay \(k = 1\) vào biểu thức hệ số: \(C_4^1 \cdot 2^{4-1} \cdot (-1)^1 = 4 \cdot 2^3 \cdot (-1) = 4 \cdot 8 \cdot (-1) = -32\).

Vậy hệ số của số hạng chứa \(x^3\) là -32.

Đáp án: \((x - \frac{5}{6})^2 + (y + \frac{5}{6})^2 = \frac{193}{36}\)

Hướng dẫn giải:

- Gọi tâm đường tròn là \(I(a; b)\). Vì \(I \in d\) nên \(a + b = 0 \Rightarrow b = -a\). Vậy \(I(a; -a)\).

- Vì đường tròn đi qua \(A\) và \(B\) nên \(IA^2 = IB^2 = R^2\).

- Ta có: \(IA^2 = (3 - a)^2 + (0 - (-a))^2 = (3 - a)^2 + a^2\).

- Ta có: \(IB^2 = (0 - a)^2 + (2 - (-a))^2 = a^2 + (2 + a)^2\).

- Giải phương trình: \((3 - a)^2 + a^2 = a^2 + (2 + a)^2 \Leftrightarrow 9 - 6a + a^2 = 4 + 4a + a^2 \Leftrightarrow 10a = 5 \Rightarrow a = \frac{1}{2}\).

- Suy ra tâm \(I(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2})\) và bán kính \(R^2 = (3 - \frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{25}{4} + \frac{1}{4} = \frac{26}{4} = \frac{13}{2}\).

Vậy phương trình đường tròn là: \((x - \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = \frac{13}{2}\).

Đáp án: 5520

Hướng dẫn giải:

- Tổng số người trong hội đồng là 12 người (gồm 5 nữ và 7 nam).

- Số cách bầu 4 người bất kỳ (1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch, 2 ủy viên) là: \(A_{12}^2 \cdot C_{10}^2 = 132 \cdot 45 = 5940\) cách.

- Số cách bầu 4 người mà không có nữ nào (tức là cả 4 người đều là nam) là: \(A_7^2 \cdot C_5^2 = 42 \cdot 10 = 420\) cách.

- Số cách bầu có ít nhất một nữ là: \(5940 - 420 = 5520\) cách.

Vậy có tất cả 5520 cách bầu thỏa mãn yêu cầu.

Đáp án: 14/55

Hướng dẫn giải:

- Tổng số học sinh là \(8 + 4 = 12\). Số phần tử của không gian mẫu là: \(n(\Omega) = 12!\).

- Để không có học sinh nữ nào đứng cạnh nhau, ta dùng phương pháp vách ngăn:

+ Bước 1: Xếp 8 học sinh nam thành một hàng ngang, có \(8!\) cách.

+ Bước 2: 8 học sinh nam tạo ra 9 vị trí trống (bao gồm 2 đầu và các khoảng giữa). Chọn 4 vị trí trong 9 vị trí này để xếp 4 học sinh nữ vào, có \(A_9^4\) cách.

- Số cách xếp thỏa mãn biến cố \(A\) là: \(n(A) = 8! \times A_9^4\).

- Xác suất của biến cố \(A\) là: \(P(A) = \frac{8! \times A_9^4}{12!} = \frac{8! \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8!} = \frac{14}{55}\).

Vậy xác suất cần tìm là 14/55.