Đáp án: 10

Hướng dẫn giải:

- Thay tọa độ điểm \(P(0; 8)\) vào phương trình elip: \(\frac{0^2}{a^2} + \frac{8^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{64}{b^2} = 1 \Rightarrow b^2 = 64\).

- Thay tọa độ điểm \(Q\left(6; -\frac{32}{5}\right)\) và \(b^2 = 64\) vào phương trình elip: \(\frac{6^2}{a^2} + \frac{(-32/5)^2}{64} = 1 \Leftrightarrow \frac{36}{a^2} + \frac{1024/25}{64} = 1\).

- Rút gọn ta được: \(\frac{36}{a^2} + \frac{16}{25} = 1 \Leftrightarrow \frac{36}{a^2} = \frac{9}{25} \Rightarrow a^2 = \frac{36 \times 25}{9} = 100\).

- Từ \(a^2 = 100 \Rightarrow a = 10\) (vì hoành độ trên tia \(Ox\) phải dương).

- Giao điểm của elip với tia \(Ox\) là điểm có tọa độ \((a; 0)\), do đó hoành độ giao điểm là \(10\).

Vậy hoành độ giao điểm cần tìm bằng 10.

Đáp án: 9

Hướng dẫn giải:

- Khoảng cách từ \(A(1; 2)\) đến \(\Delta\) bằng \(\sqrt{10}\) nên: \(\frac{|1 + 3(2) + c|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \sqrt{10} \Leftrightarrow \frac{|7 + c|}{\sqrt{10}} = \sqrt{10} \Leftrightarrow |7 + c| = 10\).

- Suy ra \(7 + c = 10\) hoặc \(7 + c = -10\). Tương ứng \(c = 3\) hoặc \(c = -17\).

- Vì điều kiện \(c < 0\) nên ta chọn \(c = -17\). Phương trình đường thẳng \(\Delta\) là \(x + 3y - 17 = 0\).

- Tọa độ giao điểm \(I(a; b)\) là nghiệm của hệ: \(\begin{cases} x + 3y = 17 \\ 3x - 5y = -5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 5 \\ y = 4 \end{cases}\). Vậy \(I(5; 4)\).

- Ta có \(a = 5, b = 4\). Suy ra \(a + b = 5 + 4 = 9\).

Vậy giá trị của \(a + b\) bằng 9.

Đáp án: 107

Hướng dẫn giải:

Để chọn ra 2 học sinh giỏi 2 môn khác nhau, ta có các trường hợp sau:

- Trường hợp 1: Chọn 1 học sinh giỏi Toán và 1 học sinh giỏi Văn.

Số cách chọn: \(7 \times 5 = 35\) cách.

- Trường hợp 2: Chọn 1 học sinh giỏi Văn và 1 học sinh giỏi Anh.

Số cách chọn: \(5 \times 6 = 30\) cách.

- Trường hợp 3: Chọn 1 học sinh giỏi Toán và 1 học sinh giỏi Anh.

Số cách chọn: \(7 \times 6 = 42\) cách.

Tổng cộng: \(35 + 30 + 42 = 107\) cách.

Vậy có tất cả 107 cách chọn nhóm học sinh thỏa mãn yêu cầu.

Đáp án: 405

Hướng dẫn giải:

- Giải phương trình tìm \(n\): \(A_n^3 + 2A_n^2 = 100 \Leftrightarrow n(n-1)(n-2) + 2n(n-1) = 100\).

- Rút gọn ta được: \(n(n-1)(n-2+2) = 100 \Leftrightarrow n^2(n-1) = 100\). Với \(n=5\), ta thấy \(5^2(5-1) = 25 \times 4 = 100\). Vậy \(n = 5\).

- Xét khai triển \((1 - 3x)^5\). Số hạng tổng quát là: \(T_{k+1} = C_5^k \cdot 1^{5-k} \cdot (-3x)^k = C_5^k \cdot (-3)^k \cdot x^k\).

- Để tìm số hạng chứa \(x^4\), ta chọn \(k = 4\).

- Hệ số cần tìm là: \(C_5^4 \cdot (-3)^4 = 5 \times 81 = 405\).

Vậy hệ số của số hạng chứa \(x^4\) bằng 405.

Đáp án: x - 2y + 12 = 0 và x - 2y + 2 = 0 (loại) -> x - 2y + 12 = 0

Hướng dẫn giải:

- Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(-1; 3)\) và bán kính \(R = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 - 5} = \sqrt{5}\).

- Vì \(d // \Delta\) nên phương trình \(d\) có dạng: \(x - 2y + c = 0\) (với \(c \neq 2\)).

- Để \(d\) là tiếp tuyến của \((C)\) thì khoảng cách từ tâm \(I\) đến \(d\) phải bằng \(R\):

\(d(I, d) = \frac{|-1 - 2(3) + c|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \sqrt{5} \Leftrightarrow \frac{|c - 7|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \Leftrightarrow |c - 7| = 5\).

- Suy ra \(c - 7 = 5 \Rightarrow c = 12\) hoặc \(c - 7 = -5 \Rightarrow c = 2\) (loại vì trùng với \(\Delta\)).

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là x - 2y + 12 = 0.

Đáp án: 24

Hướng dẫn giải:

Trong tập \(S\), có 3 số lẻ \(\{1, 3, 5\}\) và 2 số chẵn \(\{2, 4\}\). Để tổng 3 chữ số là một số lẻ, ta có 2 trường hợp:

- Trường hợp 1: Cả 3 chữ số đều lẻ.

Chọn 3 số từ 3 số lẻ và sắp xếp: \(3! = 6\) cách.

- Trường hợp 2: Có 1 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn.

+ Bước 1: Chọn 1 số lẻ từ 3 số lẻ: \(C_3^1 = 3\) cách.

+ Bước 2: Chọn 2 số chẵn từ 2 số chẵn: \(C_2^2 = 1\) cách.

+ Bước 3: Hoán vị 3 chữ số đã chọn: \(3! = 6\) cách.

Số cách chọn trường hợp 2 là: \(3 \times 1 \times 6 = 18\) cách.

Tổng cộng: \(6 + 18 = 24\) số.

Vậy lập được tất cả 24 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 12/25

Hướng dẫn giải:

- Mỗi khách hàng có 5 cách chọn quầy. Vì có 3 khách hàng nên số phần tử của không gian mẫu là: \(n(\Omega) = 5 \times 5 \times 5 = 125\).

- Gọi \(A\) là biến cố: "Có 2 khách hàng cùng vào một quầy và khách hàng còn lại vào một quầy khác".

+ Bước 1: Chọn 2 khách hàng trong 3 khách hàng để vào cùng một quầy: \(C_3^2 = 3\) cách.

+ Bước 2: Chọn 1 quầy cho 2 khách hàng này vào: \(C_5^1 = 5\) cách.

+ Bước 3: Chọn 1 quầy khác cho khách hàng còn lại: \(C_4^1 = 4\) cách.

- Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là: \(n(A) = 3 \times 5 \times 4 = 60\).

- Xác suất của biến cố \(A\) là: \(P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{60}{125} = \frac{12}{25}\) (hay \(0,48\)).

Vậy xác suất cần tìm là 12/25.