Đáp án: 9

Hướng dẫn giải:

- Từ tiêu điểm \(F_1(-\sqrt{3}; 0)\), ta có \(c = \sqrt{3} \Rightarrow c^2 = 3\). Mặt khác, \(c^2 = a^2 - b^2 \Rightarrow a^2 - b^2 = 3 \Rightarrow b^2 = a^2 - 3\).

- Vì điểm \(M\left(1; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) thuộc \((E)\), thay tọa độ \(M\) vào phương trình elip ta được: \[\frac{1^2}{a^2} + \frac{(\sqrt{3}/2)^2}{b^2} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{a^2} + \frac{3}{4b^2} = 1\]

- Thay \(b^2 = a^2 - 3\) vào phương trình trên: \[\frac{1}{a^2} + \frac{3}{4(a^2 - 3)} = 1 \Leftrightarrow 4(a^2 - 3) + 3a^2 = 4a^2(a^2 - 3)\] \[\Leftrightarrow 7a^2 - 12 = 4a^4 - 12a^2 \Leftrightarrow 4a^4 - 19a^2 + 12 = 0\]

- Giải phương trình bậc hai theo \(a^2\), ta được \(a^2 = 4\) hoặc \(a^2 = \frac{3}{4}\) (loại vì \(a^2 > c^2 = 3\)).

- Với \(a^2 = 4 \Rightarrow a = 2\). Suy ra \(b^2 = a^2 - 3 = 1 \Rightarrow b = 1\).

- Giá trị biểu thức \(S = a^3 + b^3 = 2^3 + 1^3 = 8 + 1 = 9\).

Vậy giá trị của biểu thức \(S\) bằng 9.

Đáp án: 8

Hướng dẫn giải:

- Vectơ pháp tuyến của \(\Delta\) là \(\vec{n_1} = (m; 1)\) và của \(d\) là \(\vec{n_2} = (1; 1)\).

- Góc giữa hai đường thẳng bằng \(60^\circ\) nên: \[\cos 60^\circ = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{|m \cdot 1 + 1 \cdot 1|}{\sqrt{m^2 + 1} \cdot \sqrt{1^2 + 1^2}}\]

- Bình phương hai vế: \[\frac{1}{4} = \frac{(m + 1)^2}{2(m^2 + 1)} \Leftrightarrow 2(m^2 + 1) = 4(m^2 + 2m + 1)\] \[\Leftrightarrow m^2 + 1 = 2m^2 + 4m + 2 \Leftrightarrow m^2 + 4m + 1 = 0\]

- Theo định lý Vi-ét cho phương trình bậc hai \(m^2 + 4m + 1 = 0\), tổng hai nghiệm là: \[m_1 + m_2 = -\frac{b}{a} = -4\]

*Lưu ý: Có lỗi sai trong đề bài hoặc tính toán nhanh ở đáp án mẫu ban đầu, kết quả chính xác theo dữ kiện hình ảnh là -4.

Đáp án: 32

Hướng dẫn giải:

1. Tính số cách xếp nam và nữ ngồi xen kẽ:

- Trường hợp 1: Nam-Nữ-Nam-Nữ-Nam-Nữ. Có \(3! \times 3! = 36\) cách.

- Trường hợp 2: Nữ-Nam-Nữ-Nam-Nữ-Nam. Có \(3! \times 3! = 36\) cách.

\(\Rightarrow\) Tổng số cách xếp xen kẽ là: \(36 + 36 = 72\) cách.

2. Tính số cách xếp xen kẽ mà Long và Linh ngồi cạnh nhau:

- Các cặp vị trí cạnh nhau trong hàng 6 ghế là: (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6).

- Vì xếp xen kẽ nên Long và Linh (1 nam, 1 nữ) chỉ có thể ngồi cạnh nhau ở các cặp vị trí: (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6). Có 5 cặp vị trí như vậy.

- Với mỗi cặp vị trí (ví dụ ghế 1 và 2), để xếp xen kẽ thì có 2 cách chọn thứ tự Nam-Nữ hoặc Nữ-Nam cho toàn hàng. Tuy nhiên, khi đã cố định Long và Linh vào 2 ghế đó, chỉ có 1 kiểu xen kẽ tương ứng phù hợp.

- Số cách xếp 2 bạn còn lại: \(2! \times 2! = 4\) cách.

- Tổng số cách để Long và Linh ngồi cạnh nhau khi xen kẽ là: \(5 \times 4 = 20\) cách.

- Tổng số cách để Linh và Long ngồi cạnh nhau khi xen kẽ là: \(5 \times 4 = 20\) cách.

3. Kết quả:

- Số cách thỏa mãn yêu cầu: \(72 - 20 - 20 = 32\) cách.

Đáp án: 10

Hướng dẫn giải:

- Số hạng tổng quát trong khai triển Nhị thức Newton của \(\left(x + \frac{2}{x^4}\right)^5\) là: \[T_{k+1} = C_5^k \cdot x^{5-k} \cdot \left(\frac{2}{x^4}\right)^k = C_5^k \cdot x^{5-k} \cdot 2^k \cdot x^{-4k} = C_5^k \cdot 2^k \cdot x^{5-5k}\]

- Số hạng không chứa \(x\) ứng với số mũ của \(x\) bằng 0: \[5 - 5k = 0 \Leftrightarrow 5k = 5 \Leftrightarrow k = 1\]

- Thay \(k = 1\) vào công thức số hạng, ta được: \[C_5^1 \cdot 2^1 = 5 \cdot 2 = 10\]

Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển trên là 10.

Đáp án: \(\frac{29}{\sqrt{65}}\) (xấp xỉ 2.11)

Hướng dẫn giải:

- Từ phương trình đường tròn \((C)\), ta xác định được tọa độ tâm là \(I(2; -1)\).

- Viết phương trình đường thẳng \(AB\):
+ Vectơ chỉ phương \(\vec{AB} = (-3 - 5; 2 - 3) = (-8; -1)\).
+ Vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (1; -8)\).
+ Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(A(5; 3)\): \(1(x - 5) - 8(y - 3) = 0 \Leftrightarrow x - 8y + 19 = 0\).

- Khoảng cách từ tâm \(I(2; -1)\) đến đường thẳng \(AB\) là: \[d(I, AB) = \frac{|2 - 8(-1) + 19|}{\sqrt{1^2 + (-8)^2}} = \frac{|2 + 8 + 19|}{\sqrt{1 + 64}} = \frac{29}{\sqrt{65}}\]

*Lưu ý: Bạn hãy kiểm tra kỹ lại tọa độ các điểm trong đề bài nếu kết quả số lẻ nhé.

Đáp án: 33177600

Hướng dẫn giải:

- Coi mỗi cặp ghế đối diện nhau là một "cặp vị trí". Có 6 cặp vị trí như vậy.

- Tại mỗi cặp vị trí, để học sinh khác giới ngồi đối diện nhau, ta có 2 sự lựa chọn: (Nam ngồi dãy 1 - Nữ ngồi dãy 2) hoặc (Nữ ngồi dãy 1 - Nam ngồi dãy 2).
Với 6 cặp vị trí, ta có: \(2^6 = 64\) cách chọn vị trí cho nhóm Nam và nhóm Nữ.

- Sau khi đã cố định các vị trí cho Nam và Nữ:
+ Xếp 6 bạn nam vào 6 vị trí đã chọn: có \(6! = 720\) cách.
+ Xếp 6 bạn nữ vào 6 vị trí còn lại: có \(6! = 720\) cách.

- Vậy tổng số cách xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài là: \[2^6 \times 6! \times 6! = 64 \times 720 \times 720 = 33.177.600 \text{ (cách)}\]

Đáp án: \(\frac{8}{15}\)

Hướng dẫn giải:

1. Tính số phần tử của không gian mẫu \(n(\Omega)\):

- Chọn 2 học sinh vào phòng thứ nhất: có \(C_6^2\) cách.

- Chọn 2 học sinh vào phòng thứ hai từ 4 học sinh còn lại: có \(C_4^2\) cách.

- 2 học sinh cuối cùng vào phòng thứ ba: có \(C_2^2\) cách.

\(\Rightarrow n(\Omega) = C_6^2 \times C_4^2 \times C_2^2 = 15 \times 6 \times 1 = 90\).

2. Tính số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) "không có hai học sinh cùng khối vào cùng một phòng":

- Phòng 1: Chọn 2 học sinh từ 2 khối khác nhau. Có \(C_3^2\) cách chọn 2 khối, mỗi khối chọn 1 học sinh \(\Rightarrow 3 \times 2 \times 2 = 12\) cách.

- Phòng 2: Còn lại 4 học sinh thuộc 3 khối (trong đó có 1 khối còn nguyên 2 học sinh, 2 khối mỗi khối còn 1 học sinh). Để không cùng khối, phòng 2 phải chọn 1 bạn từ khối còn nguyên và 1 bạn từ khối còn 1 bạn \(\Rightarrow 2 \times 2 = 4\) cách.

- Phòng 3: 2 học sinh còn lại hiển nhiên khác khối \(\Rightarrow 1\) cách.

\(\Rightarrow n(A) = 12 \times 4 \times 1 = 48\).

3. Xác suất:

\[P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}\]