Đáp án: 5,32

Hướng dẫn giải:

- Từ phương trình elip \((E): \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\), ta có: \[a^2 = 16 \Rightarrow a = 4\] \[b^2 = 9 \Rightarrow b = 3\]

- Ta có \(c^2 = a^2 - b^2 = 16 - 9 = 7 \Rightarrow c = \sqrt{7}\). Vì \(F_1\) có hoành độ âm nên tiêu điểm \(F_1(-\sqrt{7}; 0)\).

- Điểm \(M(x_M; m)\) thuộc elip có bán kính qua tiêu điểm \(F_1\) được tính theo công thức: \[MF_1 = a + \frac{c}{a}x_M\]

- Thay các giá trị \(a = 4, c = \sqrt{7}, x_M = 2\) vào công thức: \[MF_1 = 4 + \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot 2 = 4 + \frac{\sqrt{7}}{2}\]

- Tính giá trị xấp xỉ: \[MF_1 = 4 + \frac{2,6457...}{2} \approx 4 + 1,3228 \approx 5,3228\]

- Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được kết quả là 5,32.

Đáp án: 0,5

Hướng dẫn giải:

- Kiểm tra vị trí của điểm \(A(2; 1)\):
+ Thay \(A\) vào \(d\): \(2 - 3(1) + 2 = 1 \neq 0 \Rightarrow A \notin d\).
+ Thay \(A\) vào \(\Delta\): \(3(2) + 1 - 2 = 5 \neq 0 \Rightarrow A \notin \Delta\).

- Kiểm tra mối quan hệ giữa \(d\) và \(\Delta\):
Vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_d = (1; -3)\) và \(\vec{n}_{\Delta} = (3; 1)\).
Ta có \(\vec{n}_d \cdot \vec{n}_{\Delta} = 1\cdot3 + (-3)\cdot1 = 0 \Rightarrow d \perp \Delta\).

- Vì \(d\) và \(\Delta\) là hai đường thẳng chứa hai cạnh của hình chữ nhật và vuông góc với nhau, mà điểm \(A\) không thuộc hai đường thẳng này, nên độ dài hai cạnh của hình chữ nhật lần lượt là khoảng cách từ \(A\) đến \(d\) và từ \(A\) đến \(\Delta\).

- Chiều rộng (hoặc dài) \(a = d(A, d) = \frac{|2 - 3(1) + 2|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}\).

- Chiều dài (hoặc rộng) \(b = d(A, \Delta) = \frac{|3(2) + 1 - 2|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{5}{\sqrt{10}}\).

- Diện tích thửa ruộng hình chữ nhật là: \[S = a \cdot b = \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{5}{10} = 0,5\]

Vậy diện tích thửa ruộng bằng 0,5 đơn vị diện tích.

Đáp án: 192

Hướng dẫn giải:

- Coi hai chữ số 2 và 3 là một "khối" \(X\). Vì 2 và 3 có thể đổi chỗ cho nhau nên có \(2! = 2\) cách sắp xếp trong khối \(X\).

- Lúc này, bài toán trở thành sắp xếp tập hợp gồm 5 phần tử: \(\{0; 1; 4; 5; X\}\).

- Trường hợp 1: Xếp 5 phần tử này một cách tùy ý (bao gồm cả trường hợp chữ số 0 đứng đầu).
Số cách xếp là: \(5! \times 2 = 120 \times 2 = 240\) cách.

- Trường hợp 2: Chữ số 0 đứng đầu.
Khi chữ số 0 đứng đầu, ta xếp 4 phần tử còn lại là \(\{1; 4; 5; X\}\).
Số cách xếp là: \(4! \times 2 = 24 \times 2 = 48\) cách.

- Kết quả: Số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là: \[240 - 48 = 192 \text{ (số)}\]

Vậy có 192 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 540

Hướng dẫn giải:

- Theo công thức nhị thức Newton, số hạng tổng quát trong khai triển \((1 + 3x)^5\) là: \[T_{k+1} = C_5^k \cdot 1^{5-k} \cdot (3x)^k = C_5^k \cdot 3^k \cdot x^k\]

- Khi đó, số hạng tổng quát của biểu thức \(f(x) = 2(1 + 3x)^5\) là: \[2 \cdot C_5^k \cdot 3^k \cdot x^k\]

- Để tìm số hạng chứa \(x^3\), ta cho số mũ của \(x\) bằng 3, suy ra \(k = 3\).

- Hệ số của số hạng chứa \(x^3\) là: \[H = 2 \cdot C_5^3 \cdot 3^3\]

- Tính toán giá trị:
+ \(C_5^3 = 10\)
+ \(3^3 = 27\)
+ \(H = 2 \cdot 10 \cdot 27 = 540\)

Vậy hệ số của số hạng chứa \(x^3\) trong khai triển là 540.

Đáp án: D(-1; 0) hoặc D(6; 7)

Hướng dẫn giải:

- Ta có vectơ \(\vec{AB} = (2; 2)\). Chọn vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) là \(\vec{u} = (1; 1)\).

- Phương trình tham số của đường thẳng \(AB\) đi qua \(A(-1; 0)\) là: \[\begin{cases} x = -1 + t \\ y = t \end{cases}\]

- Vì \(D \in AB\) nên tọa độ điểm \(D\) có dạng \(D(-1 + t; t)\).

- Độ dài đoạn thẳng \(DC = 5 \Leftrightarrow DC^2 = 25\). Ta có: \[(3 - (-1 + t))^2 + (3 - t)^2 = 25\] \[\Leftrightarrow (4 - t)^2 + (3 - t)^2 = 25\] \[\Leftrightarrow (16 - 8t + t^2) + (9 - 6t + t^2) = 25\] \[\Leftrightarrow 2t^2 - 14t = 0 \Leftrightarrow 2t(t - 7) = 0\]

- Giải phương trình ta được hai giá trị của \(t\):
+ Với \(t = 0 \Rightarrow D(-1; 0)\).
+ Với \(t = 7 \Rightarrow D(6; 7)\).

Vậy có hai điểm \(D\) thỏa mãn là D(-1; 0) và D(6; 7).

Đáp án: 1440

Hướng dẫn giải:

- Việc xếp hàng cho gia đình gồm 8 người (bố, mẹ và 6 người con) được thực hiện qua các công đoạn sau:

- Công đoạn 1: Xếp bố và mẹ vào hai đầu hàng.
Vì có 2 vị trí (đầu và cuối) và 2 người (bố, mẹ) nên số cách xếp là: \(2! = 2\) cách (Bố - Mẹ hoặc Mẹ - Bố).

- Công đoạn 2: Xếp 6 người con vào 6 vị trí còn lại ở giữa.
Số cách sắp xếp 6 người con là hoán vị của 6 phần tử: \(6! = 720\) cách.

- Kết quả: Theo quy tắc nhân, tổng số cách xếp hàng thỏa mãn yêu cầu là: \[2 \times 720 = 1440 \text{ (cách)}\]

Vậy có tổng cộng 1440 cách xếp hàng khác nhau.

Đáp án: 1/280

Hướng dẫn giải:

- Số phần tử của không gian mẫu: \(n(\Omega) = 10!\).

- Bước 1: Xếp thỏa mãn điều kiện "giữa 2 bạn nữ có đúng 2 bạn nam":
Vì có 4 nữ và 6 nam, để thỏa mãn điều kiện này, cấu trúc hàng chỉ có thể là: Nữ - Nam - Nam - Nữ - Nam - Nam - Nữ - Nam - Nam - Nữ.
+ Xếp 4 nữ vào 4 vị trí cố định: \(4!\) cách.
+ Xếp 6 nam vào 6 vị trí cố định: \(6!\) cách.
=> Số cách xếp thỏa mãn điều kiện đầu là: \(4! \times 6! = 17280\).

- Bước 2: Loại trừ trường hợp Quang ngồi cạnh Huyền:
Trong cấu trúc trên, Quang và Huyền chỉ ngồi cạnh nhau nếu họ rơi vào các cặp vị trí tiếp giáp (Nữ1-Nam1, Nam2-Nữ2, Nữ2-Nam3, Nam4-Nữ3, Nữ3-Nam5, Nam6-Nữ4). Tổng cộng có 6 cặp vị trí như vậy.
+ Chọn 1 trong 6 cặp vị trí cho Quang và Huyền: \(6\) cách.
+ Xếp 3 nữ còn lại: \(3!\) cách.
+ Xếp 5 nam còn lại: \(5!\) cách.
=> Số cách xếp Quang cạnh Huyền là: \(6 \times 3! \times 5! = 4320\).

- Bước 3: Tính số kết quả thuận lợi và xác suất:
+ Số cách thỏa mãn cả 2 điều kiện: \(17280 - 4320 = 12960\).
+ Xác suất \(P = \frac{12960}{10!} = \frac{12960}{3628800} = \frac{1}{280}\).

*(Lưu ý: Kết quả có thể thay đổi tùy theo cách hiểu về vị trí Quang/Huyền trong hàng, đáp án tối giản thường gặp là 1/280).*