Đáp án: \(10\)

Hướng dẫn giải:

Từ phương trình chính tắc của hypebol \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\), ta có: \(a^2 = 15\) và \(b^2 = 10\).

Mối liên hệ giữa các thông số là \(c^2 = a^2 + b^2 = 15 + 10 = 25\).

Suy ra \(c = \sqrt{25} = 5\).

Tiêu cự của hypebol được tính bằng công thức \(2c = 2 \times 5 = 10\).

Đáp án: 0,9

Hướng dẫn giải:

- Đường thẳng \(d_1\) có VTPT \(\vec{n_1} = (10; 5)\).

- Đường thẳng \(d_2\) có VTCP \(\vec{u_2} = (1; -1)\), suy ra VTPT \(\vec{n_2} = (1; 1)\).

- Gọi \(\alpha\) là góc giữa hai đường thẳng, ta có:

\[ \cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|10 \cdot 1 + 5 \cdot 1|}{\sqrt{10^2 + 5^2} \cdot \sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{15}{\sqrt{125} \cdot \sqrt{2}} = \frac{15}{\sqrt{250}} = \frac{15}{5\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \approx 0,948 \]

Làm tròn đến hàng phần chục, kết quả là 0,9 (Lưu ý: Nếu làm tròn theo quy tắc thông thường của toán học lớp 10, kết quả là 0,9. Bạn hãy kiểm tra lại yêu cầu cụ thể của đề bài nhé).

Đáp án: 1560

Hướng dẫn giải:

Việc lập ban điều hành gồm các bước sau:

- Bước 1: Chọn 1 tổ trưởng và 1 tổ phó từ 6 nam. Vì có phân biệt chức vụ nên số cách chọn là: \(A_6^2 = 30\) cách.

- Bước 2: Chọn 3 thành viên còn lại từ 8 người còn lại (4 nữ và 4 nam còn lại) sao cho có ít nhất một nữ.

Sử dụng phương pháp gián tiếp:

+ Tổng số cách chọn 3 người bất kỳ từ 8 người: \(C_8^3 = 56\) cách.

+ Số cách chọn 3 người mà không có nữ nào (tức là chọn 3 nam từ 4 nam còn lại): \(C_4^3 = 4\) cách.

+ Vậy số cách chọn 3 thành viên có ít nhất một nữ là: \(56 - 4 = 52\) cách.

- Theo quy tắc nhân, tổng số cách lập ban điều hành là: \(30 \times 52 = 1560\) cách.

Đáp án: 1080

Hướng dẫn giải:

Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Niu-tơn \((a + b)^n\) là: \(T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k\).

Áp dụng với \((3x + 2)^5\), ta có: \(T_{k+1} = C_5^k (3x)^{5-k} 2^k = C_5^k \cdot 3^{5-k} \cdot 2^k \cdot x^{5-k}\).

Để tìm hệ số của \(x^3\), ta cho số mũ của \(x\) bằng 3: \(5 - k = 3 \Rightarrow k = 2\).

Thay \(k = 2\) vào biểu thức hệ số, ta được: \(C_5^2 \cdot 3^{5-2} \cdot 2^2 = 10 \cdot 3^3 \cdot 2^2 = 10 \cdot 27 \cdot 4 = 1080\).

Vậy hệ số của \(x^3\) là 1080.

Đáp án: 4

Hướng dẫn giải:

- Trong hình bình hành \(ABCD\), khoảng cách từ \(D\) đến đường thẳng \(AB\) chính bằng khoảng cách từ \(C\) đến đường thẳng \(AB\) (vì \(CD \parallel AB\)).

- Ta lập phương trình đường thẳng \(AB\):

+ Vectơ chỉ phương \(\vec{AB} = (-6; 8) \Rightarrow\) Vectơ pháp tuyến \(\vec{n_{AB}} = (8; 6)\) hoặc chọn \(\vec{n} = (4; 3)\).

+ Phương trình \(AB\): \(4(x - 1) + 3(y + 1) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 1 = 0\).

- Khoảng cách cần tìm là \(d(D, AB) = d(C, AB)\):

\[ d(C, AB) = \frac{|4(0) + 3(7) - 1|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|20|}{5} = 4 \]

Vậy khoảng cách là 4.

Đáp án: 8/15

Hướng dẫn giải:

- Số phần tử của không gian mẫu (chọn 2 viên bi từ 10 viên): \(n(\Omega) = C_{10}^2 = 45\).

- Gọi biến cố \(A\): "Chọn được 2 viên bi có ít nhất một viên màu xanh".

- Biến cố đối \(\overline{A}\): "Cả 2 viên bi chọn được đều màu đỏ".

- Số cách chọn 2 viên bi màu đỏ từ 7 viên đỏ là: \(n(\overline{A}) = C_7^2 = 21\).

- Xác suất của biến cố đối: \(P(\overline{A}) = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}\).

- Vậy xác suất để có ít nhất một viên màu xanh là: \(P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}\).

Đáp án: 952

Hướng dẫn giải:

Gọi số cần tìm là \(\overline{abcd}\) (\(a, b, c, d\) khác nhau; \(a \neq 0\)). Vì số này chia hết cho 5 nên \(d \in \{0; 5\}\).

Trường hợp 1: \(d = 0\)

- \(d\) có 1 cách chọn.

- Chọn và sắp xếp 3 chữ số còn lại từ tập \(\{1; 2; ...; 9\}\): có \(A_9^3 = 504\) cách.

=> Có \(504\) số.

Trường hợp 2: \(d = 5\)

- \(d\) có 1 cách chọn.

- \(a \neq 0\) và \(a \neq 5\) nên \(a\) có 8 cách chọn.

- \(b\) có 8 cách chọn (khác \(a\) và \(d\)).

- \(c\) có 7 cách chọn (khác \(a, b, d\)).

=> Có \(1 \times 8 \times 8 \times 7 = 448\) số.

Tổng cộng: \(504 + 448 = 952\) số.